Пифагорын теорем

Грекийн агуу их гvн ухаанчдын нэг болох Пифагор м.э.є. 570 онд Грекийн арал Самос-т тєрж єсчєє. Тэрээр Египет болон Babylon¹ - оор аялах явцдаа Anaximander², Pherekydes³ нарын онолыг vзэж судалсан байна. Пифагор "Самосын хоёрхогч" Polykrates⁴ - ын улс тєрийн бодлоготой vл зєвшєлцсєний vvднээс м.э.є 532/531 онд Самосыг орхин Итали уруу аялсан бєгєєд тэндээ Кротон⁵ - д єєрийн нэрээр нэрлэгдэх "шашин-тєрийн бvлэглэл" байгуулжээ.

Тэрээр "Бvх зvйл бол тоо юм! Математикийн зарчимаар л бvх зvйлс хувьсаж єєрчлєгдєж байдаг" гэсэн дvгнэлтийг дэвшvvлсэн байна.

Шавь нар нь тvvнийг Apolls⁶ - ын хойд дvр гэж єргємжилдєг байсан бєгєєд м.э.є 500 онд нас барсных нь дараагаар ч Пифагорын туулсан амьдрал нь олны дунд домог болон яригдсаар иржээ.

¹ Одоогийн Иракийн газар нутагт оршиж байсан эртний хот; ² Хязгааргvйн онол; ³ Газар дэлхий, бурхны vvслийн онол; ⁴ м.э.є. 538 оноос хойш Самосын хоёрхогч байсан бєгєєд м.э.є. 522 онд насан эцэслэжээ; ⁵ Одоогийн Италийн урд хэсэг, тэр vед Грекийн эзэмшилд байжээ; ⁶ Грекийн бурхдын нэг

Пифагорын Теорем

Тэгш єнцєгт гурвалжин: Гурвалжны а болон b талуудыг катет, c талыг гипотенуз гэх бєгєєд катетуудын хоорондох єнцєг 90 градус vvсгэнэ.

Пифагорын Теорем

Тэгш єнцєгт гурвалжны катетууд квадратын нийлбэр нь гипотенузын квадраттай тэнцvv байна. Єєрєєр хэлбэл, a ² + b² = c²

Баталгаа 1: Алгебрын баталгаа

Тэгш єнцєгт гурвалжны катетуудын хэмжээ (а, b) єгєгдсєн гэж vзвэл гипотенузын квадратыг буюу гипотенузын урттай (c) тэнцvv талтай кватрат дvрсийн талбайг (c²) олъё.

(а + b) урттай квадрат дvрсийн талбайгаас буюу (a + b)² - аас нийт тэгш єнцєгт гурвалжнуудын талбайг хассантай c2 тэнцvv.

байна.

Баталгаа 2: Геометрийн баталгаа

Хэрэглээ

Тэгш єнцєгт гурвалжны єгєдсєн хоёр талыг ашиглан мэдэгдэхгvй байгаа талын уртыг олоход Пифагорын теорем чухал ач холбогдолтой болохыг дараах томъёоноос харна уу.

Ер нь Пифагорын теорем математик асар их vvрэг гvйцэтгэдэг.

Пифагорын теоремтой холбоотой бодлогуудыг эндээс олж бодоорой.

Пифагорын Тоонууд

(Я.И.Перелман - ы Сонирхолтой Алгебр номоос авав.)

a² + b² = c²

тэнцэтгэлийг хангадаг тоо томшгvй олон a, b, c тоо оршин байна. Тэдгээрийг Пифагоорын тоонууд гэж нэрлэдэг. Пифагорын теорем ёсоор ийм тоонууд нь ямар нэг тэгш єнцєгт гурвалжины талуудын урт болж чадна.

Хэрэв a, b, c нь пифагорын гуравт бол pa, pb, pc нь бас пифагорын гуравт vvсгэх нь илт байна. Vvнд p нь натурал тоон vржигдхvvн. Vvний эсрэг, хэрэв пифагорын гуравт ерєнхий vржигдэхvvнтэй байвал тэдгээрийг энэ ерєнхий vржигдэхvvнд хураахад дахин пифагорын гуравт гарна. Ийм учраас эхлээд зєвхєн харилцан анхны пифагорын гуравтыг судлах хэрэгтэй (бусад нь эдгээрийг бvхэл тоон p vржигдэхvvнээр vржvvлэхэд гарна).

a, b, c гэсэн тийм гуравт дотор нэг катет нь заавал тэгш, нєгєє нь сондгой тоо байдаг гэдгийг vзvvлье. Эсрэгээс сэтгэх арга хэрэглэе. Хэрэв хоёр катет хоёул тэгш байвал a² + b², тэгэхлээр, гипотенуз ч тэгш тоо байх ёстой. Энэ гурван тэгш тоо 2 гэсэн ерєнхий vржигдэхvvнтэй байх тул a, b, c гурав харилцан анхны гэдэгт харшилж байна. Ийм учраас a, b гэсэн хоёр катеты ядаж нэг нь сондгой тоо байх ёстой.

Єєр нэг боломж vлдлээ: хоёр катет хоёул сондгой, гиптенуз тэгш байх. Ийм байх боломжгvй гэдгийг батлахад хялбархан. Vнэхээр, хэрвээ катетууд

2x + 1, 2y + 1

дvрстэй байвал тэдгээрийн квадратын нийлбэр

4x2 + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x2 + x + y2 + y) + 2

- той тэнцvv, єєрєєр хэлбэл, 4-т хуваахад 2-той тэнцvv vлдэгдэл єгдєг тоо гарна. Гэтэл тэгш тоо бvрийн квадрат 4-т vлдэгдэлгvй хуваагдах ёстой. Иймд хоёр сондгой тооны квадратын нийлбэр тэгш тооны квадрат болж чадахгvй. Єєрєєр єгvvлбэл, бидний авсан 3 тоо пифагорын тоо vvсгэхгvй.

Ийнхvv a, b катетын нэг нь тэгш, нєгєє нь сондгой, иймээс a² + b² сондгой, тэгэхлээр гипотенуз c ч сондгой байна.

Тодорхой болгохын тулд а катетыг сондгой, b катетыг тэгш гэж vзье.

a² = c² - b² = (c + b)(c - b)

байна. Баруун хэсэгт байгаа c + b, c - b vржигдэхvvнvvд харилцан анхны. Vнэхээр, хэрэв эдгээр тоо нэгээс ялгаатай ерєнхий анхны vржигдэхvvнтэй байвал

(c + b) + (c - b) = 2c

нийлбэр,

(c + b) - (c - b) = 2b

ялгавар,

(c + b) (c - b) = a²

vржвэр, єєрєєр хэлбэл, 2c, 2b, a² тоо ерєнхий vржигдхvvнтэй байх ёстой. а сондгой учраас ерєнхий vржигдэхvvн 2-оос ялгаатай байна. Энэ ерєнхий vржигдэхvvнийг а, b, c гурвуул агуулах ёстой болно. Энэ нь боломжгvй хэрэг. Ийнхvv vvссэн зєрчил нь c + b, c - b хоёр харилцан анхны гэдгийг баталж байна.

Хэрэв харилцан анхны хоёр тооны vржвэр тооны квадрат байвал vржигдэхvvн тус бvр квадрат байх ёстой, є.х.:

Энэ системийг бодвол

дvрстэй байна. Vvнд m, n нь харилцан анхны сондгой тоо болно. Vvний эсрэг m, n хоёр ямар ч сондгой тоо байхад дээрх томъёо a, b, c гэсэн гурван пифагорын тоо єгч чадна гэдгийг уншигчид хялбархан шалгаж болно. Хэдэн пифагорын тоо дурдвал:

m=3, n=1 байхад 3² + 4² = 5²
m=5, n=1 байхад 5² + 12² = 13²
m=5, n=3 байхад 15² + 8² = 17²
m=7, n=3 байхад 21² + 20² = 29²
m=7, n=5 байхад 35² + 12² = 37² г.м.

Бусад бvх пифагорын тоонууд нэг бол ерєнхий vржигдэхvvнтэй, нэг бол иррационал тоонууд байна.

Пифагорын тоонууд нэлээд олон гайхалтай онцлогтой бєгєєд тэдгээрийг баталгаагvй дурдая:

1. Нэг катет нь гуравт хуваагдах тоо байна.
2. Нэг катет нь заавал дєрєвт хуваагдах тоо байна.
3. Пифагорын тоонуудын нэг нь тавд хуваагдах тоо байна.